\subsection{Structurele operationele semantiek}
Bij natuurlijke semantiek(ns) ligt de nadruk op de relatie tussen de begin en
-de eind state. Het nadeel hiervan is dat programma’s die niet termineren geen
+de eind state. Het nadeel hiervan is dat programma's die niet termineren geen
bewijsbomen hebben. Hierdoor is het niet mogelijk om eigenschappen te bewijzen
-voor zulke programma’s. Bij structurele operationele semantiek(sos) ligt de
+voor zulke programma's. Bij structurele operationele semantiek(sos) ligt de
nadruk juist op de individuele stappen van de executie en zijn er w\'el
-bewijsrijen voor programma’s die niet termineren.\\
+bewijsrijen voor programma's die niet termineren.\\
Om deze redenen hebben we gekozen voor sos.\\
Een toestand in onze semantiek wordt beschreven door drie stacks; input, output
en programma. Respectievelijk benoemen we deze met $s_i, s_o, s$ en beschrijven
ze de STDIN, STDOUT en interne stack van het programma. Stacks worden
-gerepresenteerd als: $s=[e_0, e_1, \dots, e_n]$ waarbij $e_i\in\mathbb{Z}$\\
-Het transitie systeem zal twee verschillende transities kennen, namelijk:\\
+gerepresenteerd als: $s=[e_0, e_1, \dots, e_n]$ waarbij $e_i\in\mathbb{Z}$
+ en waarbij het bovenste element op de stack gerepresenteerd wordt door het
+ eerste element in de lijst.\\
+Het transitiesysteem zal twee verschillende transities kennen, namelijk:\\
$\langle S, s_i, s_o, s\rangle\Rightarrow\langle S', s_i', s_o', s'\rangle$ en\\
$\langle S, s_i, s_o, s\rangle\Rightarrow\langle s_i', s_o', s'\rangle$\\
-Waarbij de laatste transitie duidt op een terminerende transitie en de eerste
+Waarbij de laatste transitie duidt op een transitie waar een volgende transitie
+aanwezig is en genomen kan worden. De tweede duidt op een transitie waarbij er
+geen volgede beschikbaar is en het programma dus termineerd.
op een niet terminerende transitie.\\
\subsection{Semantiekbeschrijving}
+Om de semantiekregels te kunnen beschrijven maken we gebruik van hulpfuncties. Hieronder staat het type van de functies en een korte beschrijving.
+De implementatie van deze functies staat in de appendix bij het aangegeven regelnummer.\\
+
+delete functie (d, r. 5):\\
Om het bovenste element van een stack weg te kunnen gooien gebruiken we de volgende
functie:\\
$$\mathcal{D} : Stack \rightarrow Stack$$
-$$\mathcal{D} [\:] = [\:]$$
-$$\mathcal{D} [a:rest] = [rest] $$
Deze functie haalt het bovenste element van de stack en gooit deze weg.\\
+extend functie (e, r. 9):\\
Om een stack uit te kunnen breiden met een element gebruiken we de volgende
functie:\\
-$$\mathcal{E} : Stack\rightarrow (\mathbb{Z} \rightarrow Stack)$$\\
+$$\mathcal{E} : \mathbb{Z}\rightarrow (Stack\rightarrow Stack)$$\\
Deze functie neemt een stack en een integer en voegt de integer toe bovenop de
stack.\\
+add functie (add, r. 13):\\
Om de bovenste twee elementen van een stack op te tellen gebruiken we de volgende
functie:\\
$$\mathcal{ADD} : Stack \rightarrow Stack$$
-$$\mathcal{ADD} [\:] = [\:]$$
-$$\mathcal{ADD} [a] = [a] $$
-$$\mathcal{ADD} [a:b:rest] = [b+a:rest] $$\\
Deze functie haalt de bovenste twee waarden van de stack, telt ze bij elkaar op, en stopt
het resultaat bovenop de stack.\\
+subtract functie (sub, r. 18)\\
Om de bovenste twee elementen van een stack van elkaar af te trekken gebruiken we
de volgende functie:\\
$$\mathcal{SUB} : Stack \rightarrow Stack$$
-$$\mathcal{SUB} [\:] = [\:]$$
-$$\mathcal{SUB} [a] = [a] $$
-$$\mathcal{SUB} [a:b:rest] = [b-a:rest] $$\\
Deze functie haalt de bovenste twee elementen van de stack, trekt de bovenste
-waarde van de tweede bovenste waarde af, en stopt het resultaat bovenop de stack.
+waarde van de tweede bovenste waarde af, en stopt het resultaat bovenop de stack.\\
+multiply functie (mul, r. 23):\\
Om de bovenste twee elementen van een stack te vermenigvuldigen gebruiken we de
volgende functie:\\
$$\mathcal{MUL} : Stack \rightarrow Stack$$
-$$\mathcal{MUL} [\:] = [\:]$$
-$$\mathcal{MUL} [a] = [a] $$
-$$\mathcal{MUL} [a:b:rest] = [b*a:rest] $$\\
Deze functie haalt de bovenste twee elementen van de stack, vermenigvuldigt ze,
en stopt het resultaat bovenop de stack.\\
+division functie (div, r. 28):\\
Om de geheeltallige deling van de bovenste twee elementen van de stack bovenop de
stack te krijgen gebruiken we de volgende functie:\\
$$\mathcal{DIV} : Stack \rightarrow Stack$$
-$$\mathcal{DIV} [\:] = [\:]$$
-$$\mathcal{DIV} [a] = [a] $$
-$$\mathcal{DIV} [a:b:rest] = [b/a:rest] $$\\
Deze functie haalt de bovenste twee elementen van de stack, berekent de
geheeltallige deling van de tweede bovenste waarde door de bovenste waarde,
en stopt het resultaat bovenop de stack.\\
-Om gebruiken we de
-volgende functie:\\
+modulo functie (modc, r. 33):\\
+Om de tweede bovenste waarde modulo de bovenste waarde te berekenen
+gebruiken we de volgende functie:\\
$$\mathcal{MOD} : Stack \rightarrow Stack$$
-$$\mathcal{MOD} [\:] = [\:]$$
-$$\mathcal{MOD} [a] = [a] $$
-$$\mathcal{MOD} [a:b:rest] = [b \: mod \: a:rest] $$\\
-Deze functie haalt de bovenste twee elementen van de stack, berekent het resultaat van de tweede bovenste
-waarde modulo de bovenste waarde, en stopt dit bovenop de stack.\\
+Deze functie haalt de bovenste twee elementen van de stack, berekent het
+resultaat van de tweede bovenste waarde modulo de bovenste waarde, en
+stopt dit bovenop de stack.\\
+duplicate functie (dup, r. 38):\\
Om het bovenste element van een stack te dupliceren gebruiken we de
volgende functie:\\
$$\mathcal{DUP} : Stack \rightarrow Stack$$
-$$\mathcal{DUP} [\:] = [\:]$$
-$$\mathcal{DUP} [a:rest] = [a:a:rest] $$\\
-Deze functie haalt stopt een kopie van de bovenste waarde bovenop de stack.\\
+Deze functie haalt de bovenste waarde van de stack en stopt een kopie
+en de bovenste waarde bovenop de stack.\\
-Om de gebruiken we de
+not functie (notc, r. 42):\\
+Om de not van de bovenste waarde te berekenen gebruiken we de
volgende functie:\\
-$$\mathcal{NOT} : Stack \rightarrow Stack$$
-$$\mathcal{NOT} [\:] = [\:]$$
-$$\mathcal{NOT} [a:rest] = [0:rest] \: \text{if} \: a \neq 0$$
-$$\mathcal{NOT} [a:rest] = [1:rest] \: \text{if} \: a = 0$$\\
+$$\mathcal{NOT} : Stack \rightarrow Stack$$\\
Deze functie neemt het bovenste element van de stack en stopt 0 bovenaan de
stack als deze waarde niet gelijk is aan 0 en 1 als deze waarde gelijk is aan 0.\\
-Om gebruiken we de
-volgende functie:\\
-$$\mathcal{GRE} : Stack \rightarrow Stack$$
-$$\mathcal{GRE} [\:] = [\:]$$
-$$\mathcal{GRE} [a] = [a] $$
-$$\mathcal{GRE} [a:b:rest] = [0:rest] \: \text{if} \: a \geq b$$
-$$\mathcal{GRE} [a:b:rest] = [1:rest] \: \text{if} \: a < b$$\\
+greater functie (gre, r. 47):\\
+Om kijken of de tweede bovenste waarde groter is dan de bovenste waarde
+gebruiken we de volgende functie:\\
+$$\mathcal{GRE} : Stack \rightarrow Stack$$\\
+Deze functie haalt de bovenste twee waarden van de stack en stopt een 1 bovenop
+de stack als de tweede bovenste waarde groter is dan de bovenste waarde. Anders
+word een 0 bovenop de stack gestopt.\\
+
+roll functie (roll, r. 54):\\
+Om de stack te rollen gebruiken we de volgende functie:\\
+$$\mathcal{ROLL} : Stack \rightarrow Stack$$\\
Deze functie haalt de bovenste twee elementen van de stack en stopt 1 bovenop
de stack als het tweede bovenste element een hogere waarde heeft als dat van het
bovenste element. Anders word 1 bovenop de stack gestopt.\\
+out number (output stack) functie (outnum, r. 70):\\
+Deze functie past de output stack aan als er een integer naartoe geschreven word:\\
+$$\mathcal{OUTN_{SO}} : Stack \rightarrow Stack$$\\
+Deze functie haalt het bovenste element van de stack en stopt dit element bovenop de output stack.\\
+
+in number (stack) functie (innum, r. 75):\\
+Deze functie past de stack aan als er een integer naartoe geschreven word:\\
+$$\mathcal{INN_S} : Stack \rightarrow Stack$$\\
+Deze functie haalt het bovenste element van de input stack en stopt dit element bovenop de output stack.\\
+
Met behulp van deze gedefinieerde functies kunnen we nu de volgende semantiekregels opstellen:\\
-$
-{[pop_{sos}]}\qquad
+\begin{alignat*}{2}
+{[comp^1_{sos}]}\qquad &
+\frac{\langle S_2, s\rangle \Rightarrow \langle S'_2, s'\rangle}
+{\langle S_1 ;S_2, s\rangle \Rightarrow \langle S_1;S'_2, s'\rangle}\\
+{[comp^2_{sos}]}\qquad &
+\frac{\langle S_2, s\rangle \Rightarrow \langle s'\rangle}
+{\langle S_1 ;S_2, s\rangle \Rightarrow \langle S_1, s'\rangle}\\
+{[pop_{sos}]}\qquad &
\langle pop, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
\langle s_i, s_o,\mathcal{D}(s)\rangle\\
{[add_{sos}]}\qquad
-\langle add, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
+&\langle add, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
\langle s_i, s_o, \mathcal{ADD}(s)\rangle\\
-{[subtract_{sos} ]}\qquad
+{[subtract_{sos} ]}\qquad &
\langle subtract, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
\langle s_i, s_o, \mathcal{SUB}(s)\rangle\\
-{[multiply_{sos}]}\qquad
+{[multiply_{sos}]}\qquad &
\langle multiply, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
\langle s_i, s_o, \mathcal{MUL}(s)\rangle\\
-{[divide_{sos}]} \qquad
+{[divide_{sos}]} \qquad &
\langle divide, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
\langle s_i, s_o, \mathcal{DIV}(s)\rangle\\
-{[mod_{sos}]} \qquad\qquad
+{[mod_{sos}]} \qquad &
\langle mod, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
\langle s_i, s_o, \mathcal{MOD}(s)\rangle\\
-{[duplicate_{sos}]} \qquad
+{[duplicate_{sos}]} \qquad &
\langle duplicate, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
\langle s_i, s_o, \mathcal{DUP}(s)\rangle\\
-{[not_{sos}]}\qquad\qquad
+{[not_{sos}]} \qquad &
\langle not, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
\langle s_i, s_o, \mathcal{NOT}(s)\rangle\\
-{[greater_{sos}]} \qquad
+{[greater_{sos}]} \qquad &
\langle greater, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
\langle s_i, s_o, \mathcal{GRE}(s)\rangle\\
-{[push_{sos}]} \qquad
-\langle push, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
-\langle s_i, s_o, s\rangle\\
-{[roll_{sos}]} \qquad
+{[pointer_{sos}]} \qquad &
+\langle pointer, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
+\langle s_i, s_o, \mathcal{D}(s)\rangle\\
+{[switch_{sos}]} \qquad &
+\langle switch, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
+\langle s_i, s_o, \mathcal{D}(s)\rangle\\
+{[push_{sos}]} \qquad &
+\langle push \: n, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
+\langle s_i, s_o, \mathcal{E}(n,s)\rangle\\
+{[roll_{sos}]} \qquad &
\langle roll, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
-\langle s_i, s_o, s\rangle\\
-{[inchar_{sos}]} \qquad
-\langle inchar, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
-\langle s_i, s_o, s\rangle\\
-{[innum_{sos}]} \qquad
+\langle s_i, s_o, \mathcal{ROLL}(s)\rangle\\
+{[innum_{sos}]} \qquad &
\langle innum, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
-\langle s_i, s_o, s\rangle\\
-{[outchar_{sos}]} \qquad
-\langle outchar, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
-\langle s_i, s_o, s\rangle\\
-{[outnum_{sos}]} \qquad
+\langle \mathcal{D}(s_i), s_o, \mathcal{INN_S}(s)\rangle\\
+{[outnum_{sos}]} \qquad &
\langle outnum, s_i, s_o, s\rangle \Rightarrow
-\langle s_i, s_o, s\rangle\\
-$
+\langle s_i, \mathcal{OUTN_{SO}}(s_o),\mathcal{D}(s)\rangle\\
+\end{alignat*}
+
repositories / sec1415.git / blobdiff