--- /dev/null
+Zij gegeven:\r
+\r
+:: BTree a = Tip a | Bin (BTree a) (BTree a)\r
+\r
+map :: (a -> b) [a] -> [b]\r
+map f [] = [] (1.)\r
+map f [x:xs] = [f x : map f xs] (2.)\r
+\r
+mapbtree :: (a -> b) (BTree a) -> BTree b\r
+mapbtree f (Tip a) = Tip (f a) (3.)\r
+mapbtree f (Bin t1 t2) = Bin (mapbtree f t1) (mapbtree f t2) (4.)\r
+\r
+foldbtree :: (a a -> a) (BTree a) -> a\r
+foldbtree f (Tip x) = x (5.)\r
+foldbtree f (Bin t1 t2) = f (foldbtree f t1) (foldbtree f t2) (6.)\r
+\r
+tips :: (BTree a) -> [a]\r
+tips t = foldbtree (++) (mapbtree unit t) (7.)\r
+\r
+unit :: a -> [a]\r
+unit x = [x] (8.)\r
+\r
+\r
+Te bewijzen:\r
+ voor alle functies f, voor alle eindige bomen t:\r
+ \r
+ map f (tips t) = tips (mapbtree f t)\r
+\r
+Bewijs:\r
+ Met inductie over t.\r
+\r
+ Inductiebasis: stel t = Tip a.\r
+ Dan hebben we:\r
+\r
+ map f (tips t) // definitie tips (7)\r
+ = map f (foldbtree (++) (mapbtree unit t)) // aanname t = Tip a\r
+ = map f (foldbtree (++) (mapbtree unit (Tip a))) // definitie mapbtree (3)\r
+ = map f (foldbtree (++) (Tip unit a)) // definitie foldbtree (5)\r
+ = map f (unit a) // definitie unit (8)\r
+ = map f [a] // herschrijven lijst\r
+ = map f [a:[]] // definitie map (2)\r
+ = [f a : map f []] // definitie map (1)\r
+ = [f a : []] // herschrijven lijst\r
+ = [f a] // definitie unit (8)\r
+ = unit (f a) // definitie foldbtree (5)\r
+ = foldbtree (++) (Tip (unit (f a))) // definitie mapbtree (3)\r
+ = foldbtree (++) (mapbtree unit (Tip (f a))) // definitie tips (7)\r
+ = tips (Tip (f a)) // definitie mapbtree (3)\r
+ = tips (mapbtree f (Tip a)) // aanname t = Tip a\r
+ = tips (mapbtree f t)\r
+\r
+ Dus de stelling geldt voor t = Tip a.\r
+\r
+ Inductiestap: laten we aannemen dat \r
+ map f (tips t) = tips (mapbtree f t)\r
+ voor alle f en zekere t=t1,t=t2 (inductiehypothese). \r
+ Dan hebben we:\r
+\r
+ map f (tips (Bin t1 t2)) // definitie tips (7)\r
+ = map f (foldbtree (++) (mapbtree unit (Bin t1 t2))) // definitie mapbtree (4)\r
+ = map f (foldbtree (++) (Bin (mapbtree unit t1) (mapbtree unit t2))) // definitie foldbtree (6)\r
+ = map f ((++) (foldbtree (++) (mapbtree unit t1)) (foldbtree (++) (mapbtree unit t2))) // definitie tips (7)\r
+ = map f ((++) (tips t1) (tips t2)) // 9.4.1\r
+ = (map f (tips t1)) ++ (map f (tips t2)) // inductiehypothese\r
+ = (tips (mapbtree f t1)) ++ (tips (mapbtree f t2)) // definitie tips (7)\r
+ = (foldbtree (++) (mapbtree unit (f t1))) ++ (foldbtree (++) (mapbtree unit (f t2))) // herschrijven infixnotatie\r
+ = (++) (foldbtree (++) (mapbtree unit (f t1))) (foldbtree (++) (mapbtree unit (f t2))) // definitie foldbtree (6)\r
+ = foldbtree (++) (Bin (mapbtree unit (f t1)) (mapbtree unit (f t2))) // definitie mapbtree (4)\r
+ = foldbtree (++) (mapbtree unit (Bin (mapbtree f t1) (mapbtree f t2))) // definitie tips (7)\r
+ = tips (Bin (mapbtree f t1) (mapbtree f t2)) // definitie mapbtree (4)\r
+ = tips (mapbtree f (Bin t1 t2))\r
+\r
+ Conclusie:\r
+ We hebben laten zien dat de stelling geldt voor elke f met t = Tip a. Vervolgens hebben we laten zien dat als de stelling geldt voor elke f met t=t1 of t=t2, de stelling óók geldt voor elke f met t = Bin t1 t2. \r
+ Met het principe van inductie volgt nu\r
+\r
+ map f (tips t) = tips (mapbtree f t)\r
+\r
+ voor alle functies f en alle eindige bomen t.
\ No newline at end of file